К решению нелинейных вариационных задач

ВВЕДЕНИЕ

Дипломная работа в целом посвящена методам решения экстремальных задач. Причем более подробно изложены те классы экстремальных задач, которые не изучаются ни в школьном курсе, ни в педвузовском курсе математики. Однако основная идея их решения лежит на основе построения математических моделей экономических задач и их решения.

В первой части дипломной работы рассмотрены простейшие задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения, которые решаются элементарным способом - на основе известных неравенств: среднее арифметическое не меньше среднего геометрического. В случае равенства сумма принимает минимальное значение, а произведение достигает максимального. Рассмотрены экстремальные значения квадратного трехчлена, а также решение экстремальных задач с применением производной.

Далее рассматриваются основные понятия о задачах математического программирования: транспортная задача линейного программирования;

задача о рационе; задача об оптимальном использовании сырья; рассмотрены задачи нелинейного программирования (случай нелинейной целевой функции; случай нелинейной целевой функции и нелинейной системы ограничений).

Во второй части приводятся основные понятия о краевых задачах, примеры аналитического решения краевых задач, приближенный метод решения. Приводится сходящийся алгоритм для линейных краевых задач. На основе этого алгоритма при помощи ЭВМ решены цикл различных краевых задач; численные результаты приведены в приложениях.

Третья часть посвящена'одномерным вариационным задачам и методам их решения.

Преимущество данной работы в методическом плане заключается в том, что вариационная задача, в частном случае, может быть сведена к обычной задаче на отыскание экстремума функции одной переменной, а поэтому позволяет ввести понятие вариационной задачи уже в школьном курсе в классах с углубленным изучением- математики, как новый класс экстремальных задач.

Далее в работе приводится вывод уравнений Эйлера-Лагранжа. На их основе рассмотрены примеры аналитического решения вариационной задачи. Получен алгоритм решения линейных вариационных задач на основе метода конечных разностей, которая не решается аналитическими приемами. На основе этого алгоритма на ЭВМ решены ряд задач, численные результаты приведены в приложениях.

Другой метод решения вариационных задач - метод Ритца вводится на простейших примерах, а затем обобщается. Так как оценка точности метода Ритца не является тривиальной задачей, то сравнительный анализ численных результатов весьма актуален.

Решение рассмотренных задач методом Ритца и другими приемами, сравнительный анализ результатов показывает хорошую достоверность этого метода уже в первом приближении.

В заключении приводится одна новая модификация метода Ритца, при помощи которой вариационная задача сводится к достаточно простой задаче отыскания экстремума функции одной переменной. При этом процедура нахождения корня нелинейного уравнения выполнима лишь приближенными методами. Сравнительный анализ численных результатов показывает надежность метода. Основная ценность этой модификации в решении существенно нелинейных задач.

В конце третьей части этой работы приводится идея обобщения рассмотренных задач на двумерный случай и методом Ритца решается двумерная задача.

I. ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ

1.1. Определение экстремума элементарным способом

Во многих учебных пособиях для 7-х и 8-х классов встречаются неравенства, связывающие среднее арифметическое и геометрическое:

^ ^

С-г I

где среднее арифметическое больше или равно среднего геометрического, что очевидно:

°^-^^Г-=? а^г 2.1/ЙГ»;> ({&')^({Г)^ г^\1аГ^ {fS-fT)\0

Причем равенство возможно только при ft=6. При помощи этого неравенства решаются задачи на экстремум:

1) Положительное числоД представить в виде суммы положительных слагаемых х и^-^так, чтобы их произведение х-(/^-х) было наибольшим.

Решение: Найти х?о (/Ьх^при гл-сх-х Е Х (А-У)'3 __ о Пусть о-=Х и &=/4-х. Знаем, что ^^clx (a-5J-w-axV'aS = а——

При 0-^0

т.е. ?< = А-У — Х= ^/^

2) Найти прямоугольник, имеющий данный периметр Р и наибольшую площадь. Пусть о. и ^ - стороны прямбугольника, тогда .?= 2-(o-t-e) . Площадь ^а-с' принимает максимальное значение как произведение двух положительных чисел при (Х-^о. Тогда J?=<?fci<-a,)^a=^, искомый прямоугольник будет квадратом со сторонами а =- -Р/^

3) Положительное число л представить в виде произведения положительных множителей X и С^/у)так, чтобы их сумма была наименьшей.

Речение • /-Ссихт-сх. х ^al<- m-t,n, f х+ ух J . Эше-тб cl^ X,

g= ^узс •, ^и-^ (Cl+^)= 2--SS'.

при <Z=6 ,т.е. при х^ /у. -^ X ^Р ^ ^= ip

Значит ^ — р - t-7 ^ L Х+ ^--1 - ^^ Г -/Р^- ^ J ^. JP7

4) Найти минимальное значение функции t/ = Х + /X , т.е. суммы А-^- /^ ( Х 70^)

m-Lrb ( х -/- ^< ^ 2 / Х-^( = ^ или при Л = ^ ^ ^ =^ тогда . /

г^п. (Х^- Ух) =- /^ // -^

5) Найти при УЮ ,CL70,o-70 наименьшее значение дроби

77 i (ol-i-x)c 6+Х-}

^ Р f)

Решение- iQ^Lli&tl) = Q10- 4" y +-cl+o если сумма У ' у х

CL 4-6 .- ' /- /-

•—.-— + х принимает наименьшее значение и дробь будет наименьшей, т.е. при а,' & ^ у ^ у,2 ^ cl-u ^' Х^УЛ-о

• (о-^)^) х (а^ {лУ ) ( & г /аТ) /_ /^,2 ^ ^—— -- ————^у————— -(/^Ч&;

Итак, мы привели задачи, для решения которых использовали неравенство Коши для двумерного случая. Переходим к рассмотрению этой задачи в общем виде.

1.2. Соотношение между средними величинами. Определение экстремума суммы и произведения из неравенства Коши

Пусть имеется несколько неотрицательных чисел Ct^CLs.,, .., 0^. . Будем считать, что они пронумерованы в порядке возрастания, т.е. О/ ^О-л. ^ • ^ ^л- • Средней величиной для этих чисел называется всякое число О. , удовлетворяющее неравенствам и/ ^ й- ^ 0^ • Вообще говоря, средних величин имеется сколько угодно. Мы рассмотрим четыре средних величины, наиболее употребительные в математике:

1. Среднее арифметическое: /U = -°-^ ах- ^ •" + л>\- 0)

~t -L < П-

2. Среднее геометрическое: jl^ -•^ Q.^-CLa.-,„ ' Л^. (2)

3. Среднее гармоническое: ^ = ^ ^^..^ Уси (3)

4. Среднее квадратичное: /Ц -: \ О-^-ь О-а- +^•• -^ ^ (4) ^ v п-

Наша задача состоит из двух частей:

а) доказать, что числа А/г, Л. ^/ -^ -действительно средние величины для СЬ, О-а., - •-, 0^- ,

б) установить неравенства между ними.

В выражении (1) заменить все йс ( Lr // ^ • -, п-) самым наименьшим из них Л< ; получим М^ ^ Д< . В выражении (1) заменим все СШ наибольшим из них OLr^ ; получим -/У/ l^ Cin. .

Итак:

Аналогично доказываем неравенства:

а/ ^Н^ ^ (^ , а,^ ^ ^ а^ , а< ^ У^ ^ ^ .

Справедливы следующие неравенства:

^ ^ ^-^. ^-л^

^ ^УЧ^ - ^а/-с^-... •а^ '^ q^^^-^q^ ^ -

п-

и причем неравенство возможно только при (Xt •= 0-f. ^... ^ CU^. В случае ^-^2 - {07~а! ^ ^ ^g2- .

Мы уже это доказали, с общим доказательством можно ознакомиться по книге. Там же приводится доказательство

Я^ ^УЧ.2 , -Л^ ^-^

1.Если г\ = Ct-f ^-Ол-^-...+• ftn. , то максимальное значение О^-О.г,--^ достигается при ol< ^ CLa. s.. ^ ^. = ^ /^ ,

^(a,.cu-..-^)-^-^-...-^A-W.

2. Если Р= ^< • ds.' •.. ' Л^ , то минимальное значение (а^ <^^-" ^^'-у достигается при CUf Ол^'-- =" <2и. '= ^УР,

r^^ fo/+C?^+,„^Q^^ /Z-'lfP1.

Рассмотрим частную, но практически важную задачу. Задача 1

Найти прямоугольный параллелепипед с данным объемом \/~, чтобы сумма его изменений была наименьшей. Дано: а-гО^-й^^ У _^ .найти min. ( Qfi-Qii-Cts ) При СИ = 0^ - 0-5 = v^

rvuLn, ^С?/-ка,1+-^).=3' v \Г , т.е. ребра куба равны v Г .

Более подробное изложение приложений неравенств к элементарному определению экстремумов более подробно изложено в книгах .

1.3. Об экстремальных значениях квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен ^-=-а-х. +6-Jc.-f-c , а. ^ о, представим в виде: -У ^ а ( х-f- &/2а. ) 2 -f- ( с - ё г/^^) Возможно 2 случая:

О- -70 и ol^-o .

1. О. 70 , ^гъ У^ С - ао. ^и. ^^~°/2о. 2 clz.o, л^ах ^=- С- ^y^ci, г^/усс ж ^ - %cl

Примеры: / 9 ,

1) ^^•г- 6'зс -^/^^ te-з;^^ / ^•^ ^=^ ^с де^.

2) У---^^S^-У^-2(^--%):LS//^^CL)( У-^/Р п^с ^-Х

Рассмотрим частную задачу, которая играет ключевое значение в теории оптимизации.

Задача 2.

Даны числа Ci^, Ci^, ..., Ctn. . Найти число У такое, чтобы сумма / v2 / ,0 / ,2

^п.^ (х-а^)-(-(у-а^)-^,., ч-(^~с^)

имела наименьшее значение. S^ ^•K2-2•(Q^t-CL^-^<^)'X^(Oцi1-Q.^,„^ll^ )^

. ^. ( х- ^^-^) \А, ^ 'А-^^)^^^-^ rv^rv ^^А ^сс эс= ((^+(^f-,„^a^)/h. .

Здесь мы рассматривали лишь простейшие примеры решения задач, с более сложными задачами можно ознакомиться по литературе.

10

1.4. К решению экстремальных задач с применением производной

Введение изучения производной в школьный курс открыло возможности более глубокого изучения вопросов физики, рассмотрению прикладных задач. И задачи на экстремум функции начали рассматриваться с общей точки зрения. Например, нахождение экстремума трехчлена = а х2-/- ё х + с =T'fxJ рассматривается при помощи производной:

^= 2.dsei-e^0 ^ r&- -S/2а-критическая точка, при этом если у4. (^+^)^-2oi